從計(jì)算機(jī)科學(xué)到醫(yī)學(xué)再到國(guó)家安全，數(shù)學(xué)是眾多關(guān)鍵應(yīng)用的基石，但數(shù)學(xué)領(lǐng)域的進(jìn)步可能需要數(shù)年時(shí)間才能實(shí)現(xiàn)。

幾百年來(lái)，數(shù)學(xué)家使用的工具依然簡(jiǎn)樸：一張紙、一支筆。他們憑借邏輯與靈感，在符號(hào)的迷宮中尋找通往真理的路徑。

為了打破這一局面，美國(guó)國(guó)防高級(jí)研究計(jì)劃局今年4月啟動(dòng)了“指數(shù)性數(shù)學(xué)”計(jì)劃，旨在開(kāi)發(fā)一種能極大提升數(shù)學(xué)研究效率的人工智能（AI）“合著者”系統(tǒng)。

幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助計(jì)算或驗(yàn)證命題，如今的AI或許能更上層樓，挑戰(zhàn)那些人類長(zhǎng)年未解的難題。不過(guò)，從能解高中題的AI，到能協(xié)助攻克前沿?cái)?shù)學(xué)難關(guān)的AI，中間仍隔著一道鴻溝。

圖片來(lái)源：物理學(xué)家組織網(wǎng)

解決重大難題仍力不從心

大型語(yǔ)言模型（LLM）并不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)。它們常常出現(xiàn)“幻覺(jué)”，甚至可能被誤導(dǎo)相信2+2=5。但新一代大型推理模型，如OpenAI的o3、Anthropic的Claude 4 Thinking等，展現(xiàn)出的進(jìn)步令數(shù)學(xué)家眼前一亮。

今年，這些模型在美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽中的表現(xiàn)接近優(yōu)秀高中生水平。不同于過(guò)去“一錘定音”式的輸出，這些模型開(kāi)始嘗試模擬數(shù)學(xué)家逐步推理的思考過(guò)程。

同時(shí)，一些將LLM與某種事實(shí)核查系統(tǒng)相結(jié)合的新型混合模型也取得了突破。例如，谷歌“深度思維”的AlphaProof系統(tǒng)將語(yǔ)言模型與棋類AI——AlphaZero結(jié)合，成為首個(gè)取得與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽銀牌得主成績(jī)相當(dāng)?shù)南到y(tǒng)。今年5月，谷歌的AlphaEvolve模型更進(jìn)一步，在多個(gè)長(zhǎng)期未解的數(shù)學(xué)與計(jì)算難題上找到優(yōu)于人類現(xiàn)有方案的解法。

美國(guó)《麻省理工科技評(píng)論》指出，盡管這些AI成績(jī)亮眼，但專家們普遍認(rèn)為，它們?nèi)圆痪邆湔嬲膮f(xié)助科研的能力。競(jìng)賽題雖難，卻更像是智力游戲，有一定“套路”。真正的數(shù)學(xué)研究則更開(kāi)放、更復(fù)雜。面對(duì)“P vs NP”“黎曼猜想”等重大難題時(shí)，AI仍力不從心。

為了更準(zhǔn)確地評(píng)估AI的能力，初創(chuàng)公司Epoch AI去年推出了FrontierMath測(cè)試，聯(lián)合60多位數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)出全新高難度題目，避開(kāi)模型已見(jiàn)過(guò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，結(jié)果LLM幾乎集體“交白卷”。

這些測(cè)試表明，AI在數(shù)學(xué)道路上雖已邁步，但離“合著者”角色仍有很長(zhǎng)一段路要走。

需攻克“超長(zhǎng)推理鏈”

仔細(xì)觀察數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谀承┓矫骖愃疲航鉀Q問(wèn)題需完成一系列連續(xù)步驟，關(guān)鍵在于找到這些步驟。

美國(guó)加州理工學(xué)院謝爾蓋·古科夫指出，困難的差異往往體現(xiàn)在路徑的長(zhǎng)度上。高中數(shù)學(xué)可能只需10到40步，而像黎曼猜想這樣的難題，路徑可能長(zhǎng)達(dá)百萬(wàn)步。

這類“超長(zhǎng)路徑”極難處理。就像下圍棋時(shí)尋找一條制勝序列，AI必須在指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的可能路徑中找到正確解法。而在數(shù)學(xué)中，這個(gè)復(fù)雜度要遠(yuǎn)超棋類游戲。

據(jù)物理學(xué)家組織網(wǎng)今年2月報(bào)道，為應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，古科夫團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一種方法，將多個(gè)步驟打包成“超級(jí)步驟”，相當(dāng)于穿上“巨人靴”跨越大段路程。他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)系統(tǒng)，其中強(qiáng)化學(xué)習(xí)模型負(fù)責(zé)提出超級(jí)步驟，另一個(gè)模型負(fù)責(zé)驗(yàn)證其合理性。

該策略在經(jīng)典未解難題——安德魯斯-柯蒂斯猜想上取得了突破。雖然尚未證明或推翻該猜想，但借助AI，科學(xué)家推翻了一個(gè)40年來(lái)被廣泛引用的“反例”。這曾被視為證明該猜想錯(cuò)誤的關(guān)鍵依據(jù)。

牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家馬丁·布里森對(duì)此表示肯定：“排除錯(cuò)誤路徑，是科研中非常有價(jià)值的一步。”

古科夫相信，這種“壓縮路徑”的思路適用于所有需要推理鏈條的領(lǐng)域。他希望，這種方法不僅能推動(dòng)AI跳出固有模式，也為數(shù)學(xué)研究帶來(lái)新突破。

真正的創(chuàng)新和突破仍屬人類

跳出思維定式，正是數(shù)學(xué)家攻克難題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)常被看作機(jī)械推理，而高等數(shù)學(xué)則更像是一場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，充滿一波三折的試錯(cuò)與靈光乍現(xiàn)的頓悟。

這正是AlphaEvolve等AI工具的優(yōu)勢(shì)所在。它通過(guò)LLM不斷生成并改進(jìn)解題代碼，配合第二個(gè)模型評(píng)估每一輪結(jié)果，最終提出比人類更優(yōu)的解法。這種方法不僅能獨(dú)立探索，也支持人類隨時(shí)介入，提供靈感和指令。

澳大利亞悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)家喬迪·威廉姆森強(qiáng)調(diào)，探索性思維是數(shù)學(xué)的核心。據(jù)英國(guó)《新科學(xué)家》網(wǎng)站報(bào)道，他與Meta合作開(kāi)發(fā)了PatternBoost AI系統(tǒng)，可根據(jù)一個(gè)數(shù)學(xué)想法生成相似概念，幫助激發(fā)靈感。他說(shuō)：“這就像是這里有一堆有趣的東西，我不知道是怎么回事，但你能再生成一些類似的東西嗎？”

這種頭腦風(fēng)暴在數(shù)學(xué)中至關(guān)重要，它是新想法產(chǎn)生的源泉。以二十面體為例——古希臘人通過(guò)純粹推理發(fā)現(xiàn)了它，其形狀并不存在于自然界中，卻深刻影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展。威廉姆森希望，AI未來(lái)也能協(xié)助發(fā)現(xiàn)類似的“新數(shù)學(xué)對(duì)象”。

不過(guò)，目前AI仍缺乏真正的創(chuàng)造力。讓AI贏棋是一回事，讓它發(fā)明圍棋游戲則是另一回事。像AlphaEvolve和PatternBoost這樣的工具或許能作為人類直覺(jué)的“偵察兵”，幫助人們發(fā)現(xiàn)路徑、避開(kāi)死路，但專家普遍認(rèn)為，真正的創(chuàng)新與突破，仍然屬于人類。

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